Александр Федорович родился в городе Рославле 23 октября 1923 года. Вместе с родителями он переехал в Полтаву. Здесь окончил неполную среднюю школу и поступил в механико- технологический техникум. Завершить учебу помешала Великая Отечественная война. В 1941 году комсомольца Александра Щербакова призвали в Красную Армию и направили в военное училище. С июня 1942 года он сражается на Воронежском фронте.

28 сентября 1943 года начальник разведки дивизиона гвардейского минометного полка гвардии старший лейтенант Щербаков вместе с передовыми стрелковыми подразделениями форсировал Днепр.

Переправа была трудной. Пятеро разведчиков плыли на двух связанных веревками бревнах. С высокого правого берега гитлеровцы хорошо просматривали реку и обрушивали на воду ураган снарядов и пуль.

Многие наши воины пали в этот день смертью храбрых. Но приказ Родины был выполнен. Бойцы захватили плацдарм и закрепились на нем. Среди первых защитников плацдарма в районе украинского села Букрин был и Александр Щербаков. Свой наблюдательный пункт он оборудовал вблизи переднего края и отсюда корректировал огонь "катюш". Гитлеровцы много раз пытались контратаковать наши войска, но, сметаемые огнем гвардейских минометов, теряя сотни убитых и раненых, отходили на исходные позиции. Советские воины не только отстояли плацдарм, но и значительно расширили его. Минометчики получили приказ переправиться на западный берег Днепра. Александр Щербаков произвел разведку и наметил места для переправы.
Когда вся часть была на плацдарме, он снова отправился на свой наблюдательный пункт. Захватчики обрушили на наши позиции сотни снарядов и мин, бросили в бой танки и бомбардировочную авиацию. Более десяти раз они начинали штурм плацдарма. При отражении одной из контратак Александр Щербаков был тяжело ранен и контужен, но не оставил поля боя и продолжал корректировать огонь до тех пор, пока враг не был окончательно отброшен от берега.

На участке, где огнем гвардейских минометов руководил комсомолец Щербаков, враг потерял шесть танков и несколько сот своих солдат и офицеров.

За образцовое выполнение боевых заданий командования, личную отвагу и реши-тельность, проявленные при форсировании Днепра, гвардии старшему лейтенанту Щербакову Александру Федоровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 декабря 1943 года присвоено звание Героя Советского Союза.

В конце 1944 года А. Ф. Щербакова направили на учебу в военную академию. Но последствия тяжелого ранения и контузии не позволили закончить ее. Щербаков служил в Советской Армии на различных командных должностях. В 1955 году он вышел в запас.

Жил в Киеве, работал в Киевском филиале Всесоюзного научно-исследовательского института монтажспецстроя старшим инженером.

Умер 2 ноября 2002 года в Киеве. Похоронен на Байковом кладбище.